Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
an=1n cdot 1.3 5 ldots (2 n-1)2.4 6 ldots(2 n)

Passo 1

A questão pede para decidir se a sequência
$$a_n=\frac{1}{n}\cdot\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}
$$
é convergente ou divergente. Vamos usar conhecimento de fatoriais, coeficiente binomial e fórmula de Stirling para limites de sequências.

Passo 2

A parte 1cdot3cdot5cdots(2n-1) é o produto dos números ímpares até 2n-1, que vale
1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(2n)!2^n,n!,
e o produto 2cdot4cdot6cdots(2n) vale
2cdot4cdot6cdots(2n)=2^n,n!
Substituindo em an obtemos
an=1ncdot(2n)!/(2^n n!)2^n n!=1ncdot(2n)!2^2n(n!)^2

Passo 3

Reconhecemos o coeficiente binomial central
binom2nn=(2n)!(n!)^2,
então
an=1ncdotbinom2nn4^n

Passo 4

Para estudar o limite, usamos a fórmula de Stirling aproximada
n!simraiz2pi nl(ner)^n
Dessa forma
binom2nn=(2n)!(n!)^2simraiz4pi n,(2n/e)^2n2pi n,(n/e)^2n=4^nraizpi n
Logo
binom2nn4^nsim1raizpi n
Assim
an=1ncdotbinom2nn4^nsim1ncdot1raizpi n=1raizpi,n^3/2

Passo 5

Como n^3/2toinfty faz anto0, concluímos que a sequência é convergente e seu limite é 0.

Resposta

A sequência é convergente e limntoinftyan=0.

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