Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
A questão pede para decidir se a sequência
$$a_n=\frac{1}{n}\cdot\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}
$$
é convergente ou divergente. Vamos usar conhecimento de fatoriais, coeficiente binomial e fórmula de Stirling para limites de sequências.
é convergente ou divergente. Vamos usar conhecimento de fatoriais, coeficiente binomial e fórmula de Stirling para limites de sequências.
Passo 2
A parte
é o produto dos números ímpares até
, que vale
e o produto
vale
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Reconhecemos o coeficiente binomial central
então
Passo 4
Para estudar o limite, usamos a fórmula de Stirling aproximada
Dessa forma
Logo
Assim
Passo 5
Como
faz
, concluímos que a sequência é convergente e seu limite é
.
Resposta
A sequência é convergente e
.