Determine, se possível, as constantes a, b e c in R, de modo que f seja contínua em x0, sendo:
cl-3 x-3 & , x>-3 a x & , x=-3 b x^2+1 & , x<-3

Passo 1

Temos uma função definida por partes em torno de x₀ = -3:
f(x)= -3x-3,&x>-3, ax,&x=-3, bx^2+1,&x<-3
Queremos encontrar os valores de a, b e c em R para que f seja contínua em x₀. O conteúdo é continuidade de funções definidas por partes, usando limites laterais e o valor no ponto.

Passo 2

Pela definição de continuidade em x₀ = -3, precisamos ter
limxto -3^-f(x)=f(-3)=limxto -3^+f(x)
Ou seja, o limite à esquerda, o valor da função em -3 e o limite à direita devem coincidir.

Passo 3

Vamos calcular cada expressão:
limxto -3^+f(x)=-3(-3)-3=6,
limxto -3^-f(x)=bcdot(-3)^2+1=9b+1,
e
f(-3)=acdot(-3)=-3a

Passo 4

Para continuidade, igualamos as três quantidades. Da igualdade 9b+1=6 vem
9b=5Rightarrow b=59
Da igualdade -3a=6 vem
-3a=6Rightarrow a=-2

Passo 5

Observamos que o parâmetro c não aparece na definição de f. Portanto não há nenhuma condição sobre c, e ele pode ser qualquer número real.

Resposta

a = -2, b = 5/9 e c ∈ ℝ (c arbitrário)

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