Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência an=l(n+1nr)^n^2 é convergente ou divergente e, em caso convergente, calcular o limite. Vamos usar conceitos de limites envolvendo exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro escrevemos an na forma de exponencial usando logaritmo:
[
a_n=\left(1+\frac1n\right){n2}=\exp\bigl(n^2\ln(1+\tfrac1n)\bigr).

Passo 3

Em seguida, aplicamos a expansão em série de Taylor para ln(1+x) em torno de x=0:
ln(1+tfrac1n)=tfrac1n-tfrac12n^2+ol(tfrac1n^2r)
Multiplicando por n^2 obtemos
n^2ln(1+tfrac1n)=n-tfrac12+o(1),
que tende a +infty quando ntoinfty.

Passo 4

Portanto
an=expl(n^2ln(1+tfrac1n)r)=expl(n-tfrac12+o(1)r)=e^n,e^-1/2+o(1)
que cresce sem limite. Logo a sequência diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge para +\infty.

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