Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência
é convergente ou divergente e, em caso convergente, calcular o limite. Vamos usar conceitos de limites envolvendo exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro escrevemos
na forma de exponencial usando logaritmo:
[
a_n=\left(1+\frac1n\right){n2}=\exp\bigl(n^2\ln(1+\tfrac1n)\bigr).
a_n=\left(1+\frac1n\right){n2}=\exp\bigl(n^2\ln(1+\tfrac1n)\bigr).
Passo 3
Em seguida, aplicamos a expansão em série de Taylor para
em torno de
:
Multiplicando por
obtemos
que tende a
quando
.
Passo 4
Portanto
que cresce sem limite. Logo a sequência diverge para
.
Resposta
A sequência diverge para +\infty.