Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Temos a sequência an = l(tfrac3n+55n+11r)^n. O objetivo é estudar o limite quando ntoinfty, aplicando conceitos de limites de sequências exponenciais, em particular a raiz enésima.

Passo 2

Definimos a sequência auxiliar bn = raiz[n]an = 3n+55n+11. Para calcular limntoinftybn, dividimos numerador e denominador por n:
limntoinftybn = limntoinfty3 + 5/n5 + 11/n = 35

Passo 3

Como limntoinftybn = 3/5 < 1, existe um número c tal que 3/5 < c < 1 e, para todo n suficientemente grande, vale bn < c. Então,
an = bn^n < c^n
e sabemos que c^nto 0 quando ntoinfty. Logo, anto 0.

Passo 4

Portanto, a sequência an converge e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = 0.

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