Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência an=(1+1/n)^1/n é convergente ou divergente e, em caso afirmativo, calcular seu limite. O conteúdo envolve limites de sequências, manipulação de potências e uso de logaritmos para simplificar a análise.

Passo 2

Para facilitar o cálculo do limite, tomamos o logaritmo natural da sequência. Definimos bn=ln(an). Então temos:
bn=lnl((1+1/n)^1/nr)=1n,lnl(1+tfrac1nr)
À medida que ntoinfty, podemos usar a expansão em série ou o fato de que ln(1+1/n)sim 1/n. Assim
bnsim1ncdot1n=1n^2to 0
Logo bnto 0.

Passo 3

Como an=e^bn e bnto 0, concluímos que
an=e^bnto e^0=1

Resposta

Convergente, limntoinftyan=1.

Exercícios relacionados