Desenhe os seguintes conjuntos:
.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o conjunto
A=(x,y,z)in R^3mid z^2=x^2+y^2
Estamos lidando com superfícies quadráticas em R^3, em particular um cone.

Passo 2

Primeiro, observamos que se definirmos r=raizx^2+y^2, a equação fica
z^2=r^2 Long<=ftrightarrow r=|z|
Isto mostra que, para cada valor fixo de z, os pontos (x,y,z) satisfazem
x^2+y^2=z^2,
que é um círculo de raio |z| no plano z=const.

Passo 3

Em seguida, interpretamos geometricamente: à medida que z varia em R, temos uma família de círculos de raio proporcional a |z|. Quando z>0 formam-se círculos que crescem linearmente com z, e o mesmo ocorre para z<0 na parte inferior.

Passo 4

Isso descreve exatamente um cone duplo (duas nappes) com vértice na origem e eixo ao longo do eixo z. Cada geratriz faz ângulo de 45^circ com o eixo, pois r=|z| implica r/z=pm1.

Resposta

O conjunto é um cone duplo com vértice na origem e eixo no eixo z, formado pelas duas “nappes” definidas por z=pmraizx^2+y^2.

Exercícios relacionados