Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
an=5^n2^n+3^n+4^n

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário: queremos estudar a sequência an=5^n2^n+3^n+4^n. O assunto é análise de convergência de sequências envolvendo potências, e vamos usar o método de fatorar a maior base no denominador para comparar o crescimento de exponenciais.

Passo 2

Para comparar crescimentos de potências, identificamos a maior base no denominador, que é 4. Então fatoramos 4^n em 2^n+3^n+4^n:
2^n+3^n+4^n =4^nl(l(2/4r)^n+l(3/4r)^n+1r)
Reescrevendo an após essa fatoração:
an = 5^n4^nl((2/4)^n+(3/4)^n+1r) =(5/4)^n(2/4)^n+(3/4)^n+1

Passo 3

Analisando o limite: para ntoinfty, temos (2/4)^nto0 e (3/4)^nto0, então o denominador tende a 1, enquanto (5/4)^n cresce sem limite (já que 5/4>1). Portanto
limntoinfty an = limntoinfty (5/4)^n(2/4)^n+(3/4)^n+1 = +infty

Passo 4

Conclusão sobre convergência: como o limite é infinito, a sequência não converge (é divergente para +∞).

Resposta

A sequência diverge, pois anto +infty.

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