Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
O problema pede para decidir se a sequência
é convergente ou divergente e, se convergente, calcular o limite. O conteúdo envolvido é análise de limites de sequências exponenciais: vamos estudar separadamente o comportamento da base e do expoente e, para maior rigor, usar logaritmo.
Passo 2
Primeiro, olha a base
. Para ver o que ela faz quando
, escrevemos
Como
e
, a base satisfaz
.
Passo 3
O expoente é
, que claramente tende a
quando
. Se tivéssemos uma base fixa maior que 1 elevando a um expoente que cresce sem limite, o resultado vai para
. Mas para ser mais preciso, vamos estudar o logaritmo natural.
Passo 4
Definimos
. Para grandes
, temos
Logo
Como
, segue que
.
Passo 5
Daí
. Portanto a sequência não converge a um número finito: ela diverge, crescendo sem limite.
Resposta
A sequência diverge, com
.