Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

O problema pede para decidir se a sequência an=l(tfrac5n+73n+8r)^2n-4 é convergente ou divergente e, se convergente, calcular o limite. O conteúdo envolvido é análise de limites de sequências exponenciais: vamos estudar separadamente o comportamento da base e do expoente e, para maior rigor, usar logaritmo.

Passo 2

Primeiro, olha a base bn=5n+73n+8. Para ver o que ela faz quando ntoinfty, escrevemos
5n+73n+8=53cdot1+tfrac75n1+tfrac83n
Como 7/(5n)to0 e 8/(3n)to0, a base satisfaz bnto 5/3>1.

Passo 3

O expoente é 2n-4, que claramente tende a +infty quando ntoinfty. Se tivéssemos uma base fixa maior que 1 elevando a um expoente que cresce sem limite, o resultado vai para +infty. Mas para ser mais preciso, vamos estudar o logaritmo natural.

Passo 4

Definimos Ln=ln an=(2n-4)lnl(tfrac5n+73n+8r). Para grandes n, temos
lnl(tfrac5n+73n+8r)=lnl(tfrac53r)+lnl(1+o(1)r)=lnl(tfrac53r)+o(1)
Logo
Ln=(2n-4)l(ln(5/3)+o(1)r)=2nlntfrac53+o(n)
Como ln(5/3)>0, segue que Lnto+infty.

Passo 5

Daí an= e^Lnto e^+infty=+infty. Portanto a sequência não converge a um número finito: ela diverge, crescendo sem limite.

Resposta

A sequência diverge, com anto+infty.

Exercícios relacionados