Sem efetuar contas, explique por que as desigualdades |Re(z)| <=|z| e |Im(z)| <=|z| são válidas para qualquer número complexo z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar por que sempre vale |Re(z)| ≤ |z| e |Im(z)| ≤ |z| para qualquer número complexo z. O conteúdo envolve a interpretação geométrica de um número complexo no plano e a relação entre catetos e hipotenusa em um triângulo retângulo.

Passo 2

Qualquer número complexo z pode ser escrito como z = x + i y, onde x = Re(z) e y = Im(z). Geometricamente, isso corresponde ao ponto (x,y) no plano cartesiano.

Passo 3

No plano, os valores |Re(z)| = |x| e |Im(z)| = |y| são os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo, e |z| é o comprimento da hipotenusa. Em virtude do Teorema de Pitágoras, temos
|z| = raizx^2 + y^2,
e geometricamente a hipotenusa é sempre maior ou igual a cada cateto.

Passo 4

Portanto, de maneira completamente geométrica, cada cateto não pode exceder o comprimento da hipotenusa, o que garante |Re(z)| ≤ |z| e |Im(z)| ≤ |z| sem precisar fazer contas algébricas.

Resposta

Porque no triângulo retângulo formado pelos catetos |Re(z)| e |Im(z)| e hipotenusa |z|, a hipotenusa é sempre maior ou igual a cada cateto, garantindo |Re(z)| ≤ |z| e |Im(z)| ≤ |z|.

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