Sem efetuar contas, explique por que as desigualdades
e
são válidas para qualquer número complexo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar por que sempre vale |Re(z)| ≤ |z| e |Im(z)| ≤ |z| para qualquer número complexo z. O conteúdo envolve a interpretação geométrica de um número complexo no plano e a relação entre catetos e hipotenusa em um triângulo retângulo.
Passo 2
Qualquer número complexo z pode ser escrito como z = x + i y, onde x = Re(z) e y = Im(z). Geometricamente, isso corresponde ao ponto (x,y) no plano cartesiano.
Passo 3
No plano, os valores |Re(z)| = |x| e |Im(z)| = |y| são os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo, e |z| é o comprimento da hipotenusa. Em virtude do Teorema de Pitágoras, temos
e geometricamente a hipotenusa é sempre maior ou igual a cada cateto.
Passo 4
Portanto, de maneira completamente geométrica, cada cateto não pode exceder o comprimento da hipotenusa, o que garante |Re(z)| ≤ |z| e |Im(z)| ≤ |z| sem precisar fazer contas algébricas.
Resposta
Porque no triângulo retângulo formado pelos catetos |Re(z)| e |Im(z)| e hipotenusa |z|, a hipotenusa é sempre maior ou igual a cada cateto, garantindo |Re(z)| ≤ |z| e |Im(z)| ≤ |z|.