Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente:
a_{n}=\frac{2 n+\operatorname{sen} n}{5 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n} = \frac{2n + \sin n}{5n + 1}
determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o seu limite. O conteúdo principal é limite de sequência, usando fatoração e propriedades de limites.

Passo 2

Fatoramos n em numerador e denominador para isolar termos que tendem a zero:
a_{n} = \frac{2n + \sin n}{5n + 1} = \frac{n\bigl(2 + \frac{\sin n}{n}\bigr)}{n\bigl(5 + \frac{1}{n}\bigr)} = \frac{2 + \frac{\sin n}{n}}{5 + \frac{1}{n}}.

Passo 3

Usamos que \sin n é limitado em [-1,1], logo
\frac{\sin n}{n}\to 0
e também
\frac{1}{n}\to 0
quando n\to\infty.

Passo 4

Pelo teorema do quociente de limites,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{2 + 0}{5 + 0} = \frac{2}{5}.

Resposta

A sequência a_{n} é convergente e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{2}{5}.

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