Verifique se a função dada seja contínua no ponto dado.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2 x+3}-\sqrt{5}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade em x=1 da função
f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}.
Para isso, precisamos calcular \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)
e comparar com o valor f(1).

Passo 2

Calculamos o limite usando o conjugado do denominador:
\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}} \;\times\; \frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{x}-1)\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)}{(2x+3)-5} = \frac{(\sqrt{x}-1)\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)}{2(x-1)}.
Como \sqrt{x}-1=(x-1)/(\sqrt{x}+1), obtemos
\frac{(\sqrt{x}-1)\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)}{2(x-1)} = \frac{\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}\,\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)}{2(x-1)} = \frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{2(\sqrt{x}+1)}.
Tomando x\to1, fica
\lim_{x\to1}f(x) = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{5}}{2(1+1)} = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}.

Passo 3

Note que f(1) não está definida (denominador nulo). Para ser contínua em x=1, seria preciso que f(1) existisse e valesse \sqrt{5}/2. Como isso não ocorre, concluímos que a função não é contínua em x=1.

Resposta

A função não é contínua em x=1, pois f(1) é indefinido, embora
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.

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