Exemplo 2.1 Determine os valores de
r para os quais a sequência
a_{n}=r^{n} é convergente.
Resolução: Sabemos que
\lim _{x \rightarrow \infty} r^{x}=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { se } 0 \leq r<1 \\\\ 1, \text { se } r=1 \\\\ +\infty, \text { se } r>1 \end{array}\right.
Definindo
f(x)=r^{x} para
x \geq 1 , temos
f(n)=a_{n}, n \geq 1 . Então,
\lim _{n \rightarrow \infty} r^{n}=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { se } 0 \leq r<1 \\\\ 1, \text { se } r=1 \\\\ +\infty, \text { se } r>1 \end{array}\right.
Obs:
\left\{\begin{array}{l} \text { Se } a_{n} \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad\left|a_{n}\right| \rightarrow 0 \\\ \text { Se }\left|a_{n}\right| \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad a_{n} \rightarrow 0 \\\ \text { Se } a_{n} \rightarrow+\infty \quad \Rightarrow \quad\left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty \\\ \text { Se }\left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty \quad \Rightarrow \quad a_{n} \rightarrow+\infty \text { ou } a_{n} \rightarrow-\infty \text { ou } a_{n} \rightarrow \pm \infty(\text { oscila }) \end{array}\right.
Se
-1<r<0 , como
|r|^{n} \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad r^{n} \rightarrow 0 . a_{n} converge.
Se
r=-1, \lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^{n} não existe (oscila).
a_{n} diverge.
Se
r<-1 , como
|r|^{n} \rightarrow+\infty \quad \Rightarrow \quad r^{n} \rightarrow+\infty ou
r^{n} \rightarrow-\infty ou
r^{n} \rightarrow \pm \infty (oscila).
a_{n} diverge.
Deste modo, concluímos que
a_{n}=r^{n} é convergente se
-1<r \leq 1 e é divergente para todos os outros valores de
r .