Se -1<r<0, como |r|^{n} \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad r^{n} \rightarrow 0 . a_{n} converge.
Se r=-1, \lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^{n} não existe (oscila). a_{n} diverge.
Se r<-1, como |r|^{n} \rightarrow+\infty \quad \Rightarrow \quad r^{n} \rightarrow+\infty ou r^{n} \rightarrow-\infty ou r^{n} \rightarrow \pm \infty (oscila). a_{n} diverge.
Deste modo, concluímos que a_{n}=r^{n} é convergente se -1<r \leq 1 e é divergente para todos os outros valores de r.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os valores de r tais que a sequência geométrica
a_{n} = r^{n}
é convergente quando n \to \infty. Para isso precisamos usar o estudo de limites de potências e o comportamento da expressão \lim_{n\to\infty}r^{n} em função de |r|.
Passo 2
Recordamos o resultado clássico para séries geométricas:
\lim_{n\to\infty}r^{n} = \begin{cases} 0,&\text{se }\lvert r\rvert<1,\\\\ 1,&\text{se }r=1,\\\ \text{não existe (oscila)},&\text{se }r=-1,\\\\ +\infty\text{ ou diverge},&\text{se }\lvert r\rvert>1. \end{cases}ã
Este fato se baseia em:
Se \lvert r\rvert<1, então \lvert r\rvert^{n}\to0, logo r^{n}\to0.
Se \lvert r\rvert>1, então \lvert r\rvert^{n}\to+\infty, logo r^{n} cresce em módulo e diverge.
Se \lvert r\rvert=1, restam os casos r=1 (então r^{n}=1\to1) e r=-1 (então (-1)^{n} alterna entre 1 e -1, sem limite).
Logo, para qualquer r com -1<r<1, a sequência converge e seu limite é 0.
Passo 4
Analisando o caso \lvert r\rvert=1:
Se r=1, então a_{n}=1^{n}=1 para todo n, e portanto \lim_{n\to\infty}a_{n}=1.
Se r=-1, então a_{n}=(-1)^{n} oscila entre 1 e -1, sem ter limite quando n\to\infty.
Passo 5
Analisando o caso \lvert r\rvert>1:
\lvert r\rvert>1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\lvert r\rvert^{n}=+\infty \quad\Longrightarrow\quad a_{n}=r^{n}\text{ diverge em módulo (vai a }\pm\infty\text{ ou fica sem limite).}ó
Resposta
A sequência a_{n}=r^{n} é convergente exatamente para
-1<r<1 \quad\text{(limite }0\text{)} \quad\text{e para }r=1 \quad\text{(limite }1\text{)},