Decida se cada uma das séries abaixo, converge ou diverge e dê razões convincentes para sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{n}-\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\right].

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{2}{n}-\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}\Bigr]
converge ou diverge. Aqui vamos usar dois testes clássicos: o teste da série harmônica (ou integral) para \sum 2/n e o teste da série geométrica para \sum (3/4)^n.

Passo 2

Separemos a série original em duas séries conhecidas:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}.
De fato,
\sum_{n=1}^{N}\Bigl[\frac{2}{n}-\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}\Bigr] =\sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n} \;-\;\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Analisemos \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{2}{n}. É o dobro da série harmônica
\sum1/n, que é conhecida por divergir. Pelo teste da integral,
\int_{1}^{\infty}\frac{2}{x}\,dx =2\bigl[\ln(x)\bigr]_{1}^{\infty} =\infty,
logo \sum_{n=1}^{\infty}2/n diverge.

Passo 4

Agora, \sum_{n=1}^{\infty}(3/4)^{n} é série geométrica de razão
r=3/4, com \lvert r\rvert<1. Logo ela converge e seu valor é
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n} =\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}} =3.

Resposta

A série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[2/n-(3/4)^{n}\bigr]
diverge, pois corresponde a uma série divergente \sum2/n menos uma soma finita.

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