Decida se cada uma das séries abaixo, converge ou diverge e dê razões convincentes para sua resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da série
O conteúdo envolve duas ideias: (i) a parte
é telescópica e (ii) a parte
é uma série-p com
. Vamos usar essas propriedades para concluir sobre a convergência.
Passo 2
Repare que
Logo a série
é telescópica. Seus somatórios parciais satisfazem
logo essa parte converge.
Passo 3
A outra parte é
Como a série
é convergente (
-série com
), então
também converge.
Passo 4
Uma vez que cada série individual converge, a diferença
também converge (soma de séries convergentes).
Passo 5
Para ser completo, podemos até calcular o valor da soma:
Portanto
Resposta
A série converge (converge absolutamente) e seu valor é