Decida se cada uma das séries abaixo, converge ou diverge e dê razões convincentes para sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{n(n+1)}-\frac{100}{n^{2}}\right].

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{2}{n(n+1)} - \frac{100}{n^{2}}\Bigr].
O conteúdo envolve duas ideias: (i) a parte \frac{2}{n(n+1)} é telescópica e (ii) a parte \frac{100}{n^{2}} é uma série-p com p=2. Vamos usar essas propriedades para concluir sobre a convergência.

Passo 2

Repare que
\frac{2}{n(n+1)} =2\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr).
Logo a série \sum_{n=1}^\infty\frac{2}{n(n+1)} é telescópica. Seus somatórios parciais satisfazem
\sum_{k=1}^{N}2\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr) =2\Bigl(1-\frac{1}{N+1}\Bigr) \longrightarrow 2\quad\text{quando }N\to\infty,
logo essa parte converge.

Passo 3

A outra parte é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{100}{n^{2}} =100\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Como a série \sum1/n^{2} é convergente ( p-série com p=2>1), então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{100}{n^{2}}
também converge.

Passo 4

Uma vez que cada série individual converge, a diferença
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{2}{n(n+1)}\Bigr] -\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{100}{n^{2}}\Bigr]
também converge (soma de séries convergentes).

Passo 5

Para ser completo, podemos até calcular o valor da soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)}=2, \quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{100}{n^{2}}=100\cdot\frac{\pi^{2}}{6}=\frac{50\pi^{2}}{3}.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{2}{n(n+1)}-\frac{100}{n^{2}}\Bigr] =2-\frac{50\pi^{2}}{3}.

Resposta

A série converge (converge absolutamente) e seu valor é
2-\frac{50\pi^{2}}{3}.

Exercícios relacionados