Decida se cada uma das séries abaixo, converge ou diverge e dê razões convincentes para sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-\frac{1}{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}2^{-\tfrac{1}{n}}
converge ou diverge. O conteúdo teórico principal é o teste necessário de convergência de séries: se \sum a_n converge, então necessariamente \lim_{n\to\infty}a_n=0. Vamos calcular esse limite.

Passo 2

Calculamos
a_n = 2^{-\tfrac{1}{n}} = e^{-\frac{\ln 2}{n}}.
Como \frac{\ln 2}{n}\to0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}a_n = e^{0} = 1\neq0.
Pelo teste do termo geral, se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, a série \sum a_n diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral tende a 1 e não a 0, violando o teste necessário de convergência.

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