Decida se cada uma das séries abaixo, converge ou diverge e dê razões convincentes para sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln 2^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln 2^{n}}.
Estamos no contexto de séries de termos positivos, e vamos usar o teste de comparação com a série harmônica, sabendo que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
diverge.

Passo 2

Note que para todo n vale
\ln 2^{n} = n \ln 2.
Logo o termo geral da série pode ser reescrito como
a_{n} = \frac{1}{\ln 2^{n}} = \frac{1}{n\,\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}\,\frac{1}{n}.

Passo 3

Relembremos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
é divergente. Multiplicar seus termos por uma constante positiva \tfrac{1}{\ln 2} não altera o caráter de convergência ou divergência.

Passo 4

Portanto,
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln 2}\,\frac{1}{n} = \frac{1}{\ln 2}\,\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n},
que é um múltiplo positivo de uma série divergente. Logo a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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