Decida se cada uma das séries abaixo, converge ou diverge e dê razões convincentes para sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n^{2}}}
converge ou diverge. Como temos termos a_n>0, podemos usar o teste da raiz (Cauchy) ou um teste de comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, definimos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n\bigr)^{1/n} \;=\;\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{1}{2^{n^2}}\Bigr)^{1/n} \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}} \;=\;0.
Como L=0<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge.

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