Decida se cada uma das séries abaixo, converge ou diverge e dê razões convincentes para sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty} \cos \left(\frac{n \pi}{4}\right).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr)
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o teste de convergência de séries numéricas, em particular o teste necessário (ou de divergência) que exige que o termo geral tenda a zero para a série poder convergir.

Passo 2

Aplicamos o teste de divergência, que diz: se
a_n \not\to 0
quando n\to\infty, então \sum a_n diverge. Aqui
a_n = \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr).
Como \cos é periódica de período 2\pi, a sequência \bigl(a_n\bigr)_{n\ge1} não tem limite quando n\to\infty e em particular não tende a zero.

Resposta

A série diverge, pois seu termo geral \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr) não tende a zero.

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