Decida se cada uma das séries abaixo, converge ou diverge e dê razões convincentes para sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty} \cos \left[\frac{(2 n+1) \pi}{2}\right].

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \cos\biggl[\frac{(2n+1)\pi}{2}\biggr].
O conteúdo principal é trigonometria elementar e teste de convergência: precisamos avaliar o termo geral a_n=\cos\bigl[(2n+1)\pi/2\bigr] e depois usar o teste do termo geral.

Passo 2

Vamos simplificar o argumento do cosseno. Note que
\frac{(2n+1)\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}.
Usando a fórmula de adição de ângulos:
\cos\bigl(n\pi + \tfrac{\pi}{2}\bigr) = \cos(n\pi)\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \sin(n\pi)\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Sabemos que \cos(\pi/2)=0 e \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n. Logo,
\cos\bigl(n\pi + \tfrac{\pi}{2}\bigr) = \cos(n\pi)\cdot 0 - 0\cdot 1 = 0.
Portanto, para todo n\ge1,
a_n = \cos\bigl[\tfrac{(2n+1)\pi}{2}\bigr] = 0.

Passo 3

Como o termo geral a_n é identicamente zero, a soma parcial
S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n = \sum_{n=1}^{N} 0 = 0
é constante e, em particular, tem limite finito (zero) quando N \to \infty. Além disso, o teste do termo geral para séries diz que, se \lim_{n\to\infty}a_n\neq 0, a série diverge; aqui \lim a_n=0, o que não descarta a convergência — e de fato somar zeros dá um valor finito.

Resposta

A série converge trivialmente, e seu valor é
\sum_{n=1}^{\infty} \cos\bigl[\tfrac{(2n+1)\pi}{2}\bigr] = 0.

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