Decida se cada uma das séries abaixo, converge ou diverge e dê razões convincentes para sua resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da série
O conteúdo principal é trigonometria elementar e teste de convergência: precisamos avaliar o termo geral
e depois usar o teste do termo geral.
Passo 2
Vamos simplificar o argumento do cosseno. Note que
Usando a fórmula de adição de ângulos:
Sabemos que
e
para todo inteiro
. Logo,
Portanto, para todo
,
Passo 3
Como o termo geral
é identicamente zero, a soma parcial
é constante e, em particular, tem limite finito (zero) quando
. Além disso, o teste do termo geral para séries diz que, se
, a série diverge; aqui
, o que não descarta a convergência — e de fato somar zeros dá um valor finito.
Resposta
A série converge trivialmente, e seu valor é