Mostre que
converge, mas que
diverge. Para quais valores de
, a série
converge?
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência de duas séries numéricas e depois determinar para quais valores de
a série
converge. O conteúdo é teste de convergência de séries, usando séries geométricas e harmônicas (ou teste da razão).
Passo 2
A primeira série é
Repare que
, ou seja, é uma série geométrica de razão
Como
, temos
e a série geométrica converge.
Passo 3
A segunda série é
Usando a propriedade
, o termo geral vira
. Logo
que é a série harmônica conhecida por divergir (já que o expoente
).
Passo 4
Para a série
podemos ver também como uma série geométrica de razão
Pelo teste da série geométrica, ela converge se, e somente se,
. Como
para todo
, a condição fica
Resposta
A série
converge e
diverge.
A série converge exatamente para
.
A série