Mostre que \sum 1 / e^{n} converge, mas que \sum 1 / e^{\ln n} diverge. Para quais valores de x, a série \sum e^{n x} converge?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência de duas séries numéricas e depois determinar para quais valores de x a série \sum_{n=1}^{\infty}e^{n x} converge. O conteúdo é teste de convergência de séries, usando séries geométricas e harmônicas (ou teste da razão).

Passo 2

A primeira série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}}.
Repare que \frac{1}{e^{n}}=(\tfrac{1}{e})^{n}, ou seja, é uma série geométrica de razão
r = \frac{1}{e}.
Como e>1, temos |r|<1 e a série geométrica converge.

Passo 3

A segunda série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{\ln n}}.
Usando a propriedade e^{\ln n}=n, o termo geral vira 1/n. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{\ln n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica conhecida por divergir (já que o expoente p=1\le1).

Passo 4

Para a série
\sum_{n=1}^{\infty}e^{n x}
podemos ver também como uma série geométrica de razão
r = e^{x}.
Pelo teste da série geométrica, ela converge se, e somente se, |r|<1. Como e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, a condição fica
e^{x}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad x<0.

Resposta

A série \sum 1/e^{n} converge e \sum 1/e^{\ln n} diverge.
A série \sum e^{n x} converge exatamente para x<0.

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