Mostre que:
\sum_{n=1}^{\infty}[\arctan (n+1)-\arctan n]=\frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[\arctan(n+1)-\arctan n\bigr].
O conteúdo principal aqui é o fenômeno de “série telescópica” e usar o fato de que
\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Definimos a soma parcial até N:
S_{N} = \sum_{n=1}^{N}\bigl[\arctan(n+1)-\arctan n\bigr].

Passo 3

Repare que, ao escrever todos os termos, muitos se cancelam:
S_{N} = (\arctan 2-\arctan 1) + (\arctan 3-\arctan 2) + \cdots + (\arctan(N+1)-\arctan N).
Fica então
S_{N} = \arctan(N+1) \;-\;\arctan 1.

Passo 4

Agora fazemos N\to\infty. Sabemos que
\lim_{N\to\infty}\arctan(N+1)=\tfrac{\pi}{2} \quad\text{e}\quad \arctan 1 = \tfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Portanto a soma da série é
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[\arctan(n+1)-\arctan n\bigr] = \lim_{N\to\infty}S_{N} = \tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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