Nos Problemas 1-14, use (4) para calcular todas as raízes. Em cada caso, determine a raiz
-ésima principal. Posicione as raízes
em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as raízes quadradas (n=2) de 5+12i, isto é, determinar w₀ e w₁. O conteúdo é raízes n-ésimas de números complexos, e vamos usar a forma polar e a fórmula de De Moivre para raízes.
Passo 2
Vamos converter 5+12i em forma polar. O módulo r é dado por r=|5+12i|=√(5²+12²)=√(25+144)=√169=13. O argumento θ satisfaz tan θ=12/5, portanto θ=arctan(12/5).
Passo 3
A fórmula geral das raízes n-ésimas de um complexo em forma polar é:
Passo 4
Aqui n=2, então √r=√13. Para k=0 temos: w₀=√13[cos(θ/2)+i
sin(θ/2)]. Como θ/2=½
arctan(12/5), numericamente cos(θ/2)=0.83205 e sin(θ/2)=0.55470, logo w₀=√13·(0.83205+ i
0.55470)=3+2i. Para k=1 adicionamos π ao ângulo, obtendo w₁=−3−2i. As duas raízes ficam posicionadas numa circunferência de raio √13 centrada na origem, em ângulos θ/2 e θ/2+π.
sin(θ/2)]. Como θ/2=½
arctan(12/5), numericamente cos(θ/2)=0.83205 e sin(θ/2)=0.55470, logo w₀=√13·(0.83205+ i
0.55470)=3+2i. Para k=1 adicionamos π ao ângulo, obtendo w₁=−3−2i. As duas raízes ficam posicionadas numa circunferência de raio √13 centrada na origem, em ângulos θ/2 e θ/2+π.
Resposta
As raízes são w₀=3+2i (raiz principal) e w₁=−3−2i.