Nos Problemas 1-14, use (4) para calcular todas as raízes. Em cada caso, determine a raiz n-ésima principal. Posicione as raízes w0, w1, ldots, wn-1 em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
(5+12 i)^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as raízes quadradas (n=2) de 5+12i, isto é, determinar w₀ e w₁. O conteúdo é raízes n-ésimas de números complexos, e vamos usar a forma polar e a fórmula de De Moivre para raízes.

Passo 2

Vamos converter 5+12i em forma polar. O módulo r é dado por r=|5+12i|=√(5²+12²)=√(25+144)=√169=13. O argumento θ satisfaz tan θ=12/5, portanto θ=arctan(12/5).

Passo 3

A fórmula geral das raízes n-ésimas de um complexo em forma polar é:
wk = r^1/nl[cosl(tfracθ+2πknr)+isinl(tfracθ+2πknr)r], k=0,1,dots,n-1

Passo 4

Aqui n=2, então √r=√13. Para k=0 temos: w₀=√13[cos(θ/2)+i
sin(θ/2)]. Como θ/2=½
arctan(12/5), numericamente cos(θ/2)=0.83205 e sin(θ/2)=0.55470, logo w₀=√13·(0.83205+ i
0.55470)=3+2i. Para k=1 adicionamos π ao ângulo, obtendo w₁=−3−2i. As duas raízes ficam posicionadas numa circunferência de raio √13 centrada na origem, em ângulos θ/2 e θ/2+π.

Resposta

As raízes são w₀=3+2i (raiz principal) e w₁=−3−2i.

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