Nos Problemas 1-14, use (4) para calcular todas as raízes. Em cada caso, determine a raiz n-ésima principal. Posicione as raízes w0, w1, ldots, wn-1 em uma circunferência apropriada e centrada na origem.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes 8-ésimas de 16i1+i e, em particular, a raiz principal, usando a forma polar dos números complexos e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Para simplificar 16i1+i, multiplico numerador e denominador pelo conjugado de 1+i:
16i1+icdot1-i1-i=16i(1-i)(1+i)(1-i)=16i-16i^21^2- i^2=16i+161+1=8+8i

Passo 3

Agora coloco 8+8i em forma polar. O módulo é
r=|8+8i|=8raiz2,
e o argumento principal é
theta=arg(8+8i)=pi4

Passo 4

Pela fórmula geral das raízes n-ésimas (aqui n=8), as soluções são
wk=r^1/8expl(itheta+2pi k8r), k=0,1,dots,7
Como r=8raiz2=2^7/2, temos
r^1/8=2^7/16 e theta+2pi k8=pi/4+2pi k8=pi32+kpi4

Passo 5

A raiz principal corresponde a k=0, ou seja,
w0=2^7/16expl(ipi32r)=2^7/16l(costfracpi32+isintfracpi32r)

Passo 6

Todas as raízes wk estão igualmente espaçadas num círculo de raio 2^7/16 centrado na origem, com argumentos
arg(wk)=pi32+kpi4, k=0,1,dots,7

Resposta

As raízes são
wk=2^7/16expl(il(tfracpi32+tfrackpi4r)r), k=0,1,dots,7
e a raiz 8-ésima principal é
w0=2^7/16expl(itfracpi32r)=2^7/16l(costfracpi32+isintfracpi32r)

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