Decida se cada um dos vetores u abaixo pode ser gerado por \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\}.
Em caso, afirmativo, escreva u como combinação de v_{1}, \cdots, v_{n}. u=(a, b) \in \mathbb{R}^{2} ; \quad v_{1}=(1,2), v_{2}=(-2,3)
Passo 1
O enunciado pede para decidirmos se um vetor arbitrário \,u=(a,b)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear de \,v_1=(1,2) e \,v_2=(-2,3).
O conteúdo da matéria aqui é geração de vetores em \mathbb{R}^2, ou seja, verificar se \{v_1,v_2\} é base (ou, equivalentemente, se gera todo \mathbb{R}^2) e, em caso afirmativo, resolver um sistema para encontrar os coeficientes da combinação linear.
Passo 2
Verificamos se \{v_1,v_2\} é independente (determinante não nulo). Considere a matriz cujas colunas são v_1 e v_2:
M = \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 2 & \;3 \end{pmatrix}.