Decida se cada um dos vetores u abaixo pode ser gerado por \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\}.
Em caso, afirmativo, escreva u como combinação de v_{1}, \cdots, v_{n}.
u=(a, b) \in \mathbb{R}^{2} ; \quad v_{1}=(1,2), v_{2}=(-2,3)

Passo 1

O enunciado pede para decidirmos se um vetor arbitrário \,u=(a,b)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear de
\,v_1=(1,2) e \,v_2=(-2,3).
O conteúdo da matéria aqui é geração de vetores em \mathbb{R}^2, ou seja, verificar se \{v_1,v_2\} é base (ou, equivalentemente, se gera todo \mathbb{R}^2) e, em caso afirmativo, resolver um sistema para encontrar os coeficientes da combinação linear.

Passo 2

Verificamos se \{v_1,v_2\} é independente (determinante não nulo). Considere a matriz cujas colunas são v_1 e v_2:
M = \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 2 & \;3 \end{pmatrix}.
O determinante de M é
\det(M) = 1\cdot3 - (-2)\cdot2 = 3 + 4 = 7 \neq 0.
Como \det(M)\neq 0, os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes e, portanto, geram todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

Como \{v_1,v_2\} gera \mathbb{R}^2, existe uma única forma de escrever
u = \alpha\,v_1 + \beta\,v_2.
Isso equivale ao sistema em \alpha,\beta:
\begin{cases} \alpha - 2\beta = a,\\\\ 2\alpha +3\beta = b. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema, da primeira equação vem
\alpha = a + 2\beta.
Substituindo na segunda:
2(a+2\beta) + 3\beta = b \quad\Longrightarrow\quad 2a +7\beta = b \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac{b - 2a}{7}.
Logo
\alpha = a + 2\!\Bigl(\frac{b - 2a}{7}\Bigr) = \frac{7a +2b -4a}{7} = \frac{3a +2b}{7}.

Passo 5

Concluímos que, para todo (a,b),
u = (a,b) = \frac{3a+2b}{7}\,v_1 \;+\;\frac{b-2a}{7}\,v_2.

Resposta

u = \frac{3a+2b}{7}\,(1,2)\;+\;\frac{b-2a}{7}\,(-2,3).

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