Decida se cada um dos vetores u abaixo pode ser gerado por \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\}.
Em caso, afirmativo, escreva u como combinação de v_{1}, \cdots, v_{n}.
u=(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} ; v_{1}=(-1,2,3), v_{2}=(1,-2,3), v_{3}=(1,2,-3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor genérico
u=(a,b,c)\in\mathbb{R}^3
pode ser escrito como combinação linear de
v_1 =(-1,2,3),\quad v_2=(1,-2,3),\quad v_3=(1,2,-3).
O conteúdo é verificar se \{v_1,v_2,v_3\} gera \mathbb{R}^3 (ou seja, se é base) e, em caso afirmativo, encontrar coeficientes x,y,z tais que
u = x\,v_1 + y\,v_2 + z\,v_3.

Passo 2

Para checar se \{v_1,v_2,v_3\} é base de \mathbb{R}^3, montamos a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3 e calculamos seu determinante:
\det \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 2 & -2& 2\\\\ 3 & 3 & -3 \end{pmatrix} =24\neq0.
Como o determinante é não-nulo, v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3.

Passo 3

Portanto, para todo u=(a,b,c) existe única solução (x,y,z) de
x\,v_1 + y\,v_2 + z\,v_3 = (a,b,c).
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} -x + y + z = a,\\\\ 2x -2y +2z = b,\\\\ 3x +3y -3z = c. \end{cases}

Passo 4

Simplificamos as segunda e terceira equações dividindo por 2 e por 3, respectivamente:
\begin{cases} -x + y + z = a,\\\ x - y + z = \frac{b}{2},\\\ x + y - z = \frac{c}{3}. \end{cases}
Somando a segunda e a terceira:
2x = \frac{b}{2} + \frac{c}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\tfrac{b}{2} + \tfrac{c}{3}}{2} = \frac{3b + 2c}{12}.

Passo 5

Das duas equações simplificadas temos também
y + z = a + x, \qquad y - z = \frac{c}{3} - x.
Logo
y = \frac{(y+z)+(y-z)}{2} = \frac{a + x + \bigl(\tfrac{c}{3}-x\bigr)}{2} = \frac{a + \tfrac{c}{3}}{2} = \frac{3a + c}{6},
z = (y+z) - y = \bigl(a + x\bigr) - \frac{3a + c}{6} = \frac{2a + b}{4}.

Passo 6

Concluímos que qualquer
\,u=(a,b,c)\in\mathbb{R}^3
é combinação linear de v_1,v_2,v_3, e os coeficientes são
x = \frac{3b+2c}{12},\quad y = \frac{3a+c}{6},\quad z = \frac{2a+b}{4}.

Resposta

u = \frac{3b+2c}{12}\,v_1 + \frac{3a+c}{6}\,v_2 + \frac{2a+b}{4}\,v_3.

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