Sejam f(t)=t i+2 t^2 j+3 t^3 k e g(t)=3 t i-2 j+4 t^2 k. Calcular:
$\lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t)+\vec{g}(t)]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções vetoriais:
f(t) = t i + 2 t^2 j + 3 t^3 k
e
g(t) = 3 t i - 2 j + 4 t^2 k
A gente precisa calcular o limite quando t se aproxima de 1 da soma desses dois vetores, ou seja:
limt 1 [f(t) + g(t)]
Vamos precisar entender como somar vetores e como calcular limites de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os dois vetores f(t) e g(t). Para isso, somamos as componentes correspondentes de cada vetor:
f(t) + g(t) = (t + 3t)i + (2t^2 - 2)j + (3t^3 + 4t^2)k
Simplificando cada componente:
f(t) + g(t) = 4t i + (2t^2 - 2) j + (3t^3 + 4t^2) k

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite dessa soma quando t tende a 1. O limite de uma soma de funções é igual à soma dos limites das funções, desde que esses limites existam. Então, temos:
limt 1 [f(t) + g(t)] = limt 1 (4t i) + limt 1 (2t^2 - 2) j + limt 1 (3t^3 + 4t^2) k

Passo 4

Vamos calcular cada um desses limites separadamente:
  1. Para a componente i:
limt 1 4t = 4 times 1 = 4
  1. Para a componente j:
limt 1 (2t^2 - 2) = 2 times (1)^2 - 2 = 2 - 2 = 0
  1. Para a componente k:
limt 1 (3t^3 + 4t^2) = 3 times (1)^3 + 4 times (1)^2 = 3 + 4 = 7

Resposta

Portanto, o limite da soma dos vetores quando t se aproxima de 1 é:
limt 1 [f(t) + g(t)] = 4 i + 0 j + 7 k
Ou, de forma simplificada:
4 i + 7 k

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