Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W.
\mathrm{W}=\{(6 a, a, 5 a) \mid a \in \mathbb{R}\} é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado define \mathrm{W} = \{(6a,a,5a)\mid a\in\mathbb{R}\}
no espaço vetorial \mathbb{R}^3 e pede para verificar se \mathrm{W} é subespaço e, em caso afirmativo, encontrar uma base e a dimensão de \mathrm{W}. Vamos usar o critério de subespaço: mostrar que \mathrm{W} contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que \mathrm{W} não é vazio porque, para a=0, o vetor (6\cdot0,\,0,\,5\cdot0) = (0,0,0)
está em \mathrm{W}. Logo, o vetor nulo de \mathbb{R}^3 pertence a \mathrm{W}.

Passo 3

Sejam v=(6a,a,5a) e w=(6b,b,5b) dois vetores de \mathrm{W}. Então
v + w = (6a+6b,\;a+b,\;5a+5b) = \bigl(6(a+b),\;a+b,\;5(a+b)\bigr),
e, como a+b\in\mathbb{R}, segue que v+w\in\mathrm{W}. Assim, \mathrm{W} é fechado sob soma.

Passo 4

Seja c\in\mathbb{R} e v=(6a,a,5a)\in\mathrm{W}. Então
c\,v = \bigl(6(ca),\;ca,\;5(ca)\bigr),
e, como ca\in\mathbb{R}, temos c\,v\in\mathrm{W}. Portanto \mathrm{W} é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como \mathrm{W} contém o vetor nulo e é fechado sob soma e escalar, concluímos que \mathrm{W} é subespaço de \mathbb{R}^3. Além disso, todo vetor de \mathrm{W} pode ser escrito como
(6a,a,5a) = a\,(6,1,5),
ou seja, \mathrm{W} = \mathrm{span}\{(6,1,5)\}. Logo, um conjunto gerador e linearmente independente (base) é
\{(6,1,5)\},
e a dimensão de \mathrm{W} é
\dim(\mathrm{W}) = 1.

Resposta

Sim, \mathrm{W} é subespaço de \mathbb{R}^3.
Uma base é \{(6,1,5)\} e \dim(\mathrm{W}) = 1.

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