Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W.
é subespaço de
.
Passo 1
O enunciado define
no espaço vetorial e pede para verificar se
é subespaço e, em caso afirmativo, encontrar uma base e a dimensão de
. Vamos usar o critério de subespaço: mostrar que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
no espaço vetorial
Passo 2
Verificamos que
não é vazio porque, para
, o vetor
está em . Logo, o vetor nulo de
pertence a
.
está em
Passo 3
Sejam
e
dois vetores de
. Então
e, como
, segue que
. Assim,
é fechado sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Então
e, como
, temos
. Portanto
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor nulo e é fechado sob soma e escalar, concluímos que
é subespaço de
. Além disso, todo vetor de
pode ser escrito como
ou seja,
. Logo, um conjunto gerador e linearmente independente (base) é
e a dimensão de
é
Resposta
Sim,
é subespaço de
.
Uma base é e
.
Uma base é