Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W. \mathrm{W}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & 2 a \\\ b & -3 b\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\} é subespaço de M_{2 x 2}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado define o conjunto
W = \left\{\begin{pmatrix}a & 2a \\[6pt] b & -3b\end{pmatrix} \;\middle|\; a,b\in\mathbb{R}\right\}
e pede para verificarmos se W é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}). Se for, devemos encontrar uma base de W e sua dimensão. Para isso vamos usar o teste de subespaço (não vazio, fechado sob soma e produto escalar) e depois identificar geradores lineares independentes.]
Passo 2
Verificação de subespaço:
Não vazio: tomando a=0 e b=0 obtemos a matriz zero
\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\in W.
Fechamento sob soma: sejam \displaystyle X=\begin{pmatrix}a_1&2a_1\b_1&-3b_1\end{pmatrix} e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}a_2&2a_2\b_2&-3b_2\end{pmatrix} em W. Então
Verificamos que E_1 e E_2 são linearmente independentes: se \alpha E_1 + \beta E_2 = 0 então, olhando à primeira linha, (\alpha,2\alpha)=(0,0) força \alpha=0; olhando à segunda linha, (\beta,-3\beta)=(0,0) força \beta=0. Logo \{E_1,E_2\} é um conjunto de geradores de W e é linearmente independente, ou seja, é uma base de W. Portanto
\dim W = 2.
Resposta
W é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}).
Uma base de W é