Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W.
\mathrm{W}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & 2 a \\\ b & -3 b\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\} é subespaço de M_{2 x 2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = \left\{\begin{pmatrix}a & 2a \\[6pt] b & -3b\end{pmatrix} \;\middle|\; a,b\in\mathbb{R}\right\}
e pede para verificarmos se W é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}). Se for, devemos encontrar uma base de W e sua dimensão. Para isso vamos usar o teste de subespaço (não vazio, fechado sob soma e produto escalar) e depois identificar geradores lineares independentes.]

Passo 2

Verificação de subespaço:
  1. Não vazio: tomando a=0 e b=0 obtemos a matriz zero
\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\in W.
  1. Fechamento sob soma: sejam \displaystyle X=\begin{pmatrix}a_1&2a_1\b_1&-3b_1\end{pmatrix} e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}a_2&2a_2\b_2&-3b_2\end{pmatrix} em W. Então
X+Y = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & 2(a_1+a_2) \\[4pt] b_1+b_2 & -3(b_1+b_2)\end{pmatrix}
e como a_1+a_2 e b_1+b_2 são reais, X+Y\in W.
3. Fechamento sob escalar: para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda X = \begin{pmatrix}\lambda a_1 & 2(\lambda a_1) \\[4pt] \lambda b_1 & -3(\lambda b_1)\end{pmatrix}
e \lambda a_1,\lambda b_1\in\mathbb{R}, logo \lambda X\in W.
Assim W é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}).]

Passo 3

Para encontrar uma base, escrevemos a matriz genérica de W como combinação linear de matrizes fixas. Note que
\begin{pmatrix}a & 2a \\[4pt] b & -3b\end{pmatrix} = a\,\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + b\,\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}.
Denotemos
E_1 = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}.
Então todo elemento de W é aE_1 + bE_2.]

Passo 4

Verificamos que E_1 e E_2 são linearmente independentes: se \alpha E_1 + \beta E_2 = 0 então, olhando à primeira linha, (\alpha,2\alpha)=(0,0) força \alpha=0; olhando à segunda linha, (\beta,-3\beta)=(0,0) força \beta=0. Logo \{E_1,E_2\} é um conjunto de geradores de W e é linearmente independente, ou seja, é uma base de W. Portanto
\dim W = 2.

Resposta

W é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}).
Uma base de W é
\left\{\,\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&-3\end{pmatrix}\right\},
e \dim W=2.

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