Decida se os conjuntos a seguir são LD (linearmente dependente) ou LI (linearmente independente), arrastando os símbolos para preencher corretamente cada espaço presente nos itens.
\{(-1,2,-3,4,5),(3,-6,9,12,-15)\} \subset \mathbb{R}^{5} é \square .

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^5:
v_1 = (-1,2,-3,4,5), \quad v_2 = (3,-6,9,12,-15),
e pergunta se o conjunto \{v_1,v_2\} é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI). Para isso, vamos usar a definição: em \mathbb{R}^n, dois vetores são LD se um for múltiplo escalar do outro; caso contrário, são LI.

Passo 2

Verificamos se existe escalar k tal que v_2 = k\,v_1. Igualando componente a componente:
-1\cdot k = 3 \;\Rightarrow\; k = -3,
2\cdot k = -6 \;\Rightarrow\; k = -3,
-3\cdot k = 9 \;\Rightarrow\; k = -3,
estas três primeiras dão k=-3, mas na quarta componente:
4\cdot k = 12 \;\Rightarrow\; k = 3,
que é incompatível com k=-3. Logo, não existe um único k que funcione para todas as componentes.

Passo 3

Como não há escalar k que faça v_2 = k\,v_1, os vetores não são múltiplos um do outro. Com isso, \{v_1,v_2\} não é linearmente dependente.

Resposta

LI

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