Resolver as equações:
\frac{\log _{7}\left(x^{2}-7 x-7\right)}{x+1}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver
\frac{\log_{7}\bigl(x^{2}-7x-7\bigr)}{x+1}=0.
Vamos usar a propriedade de que uma fração é zero se, e somente se, seu numerador é zero (e o denominador é diferente de zero), além de garantir o domínio da função logarítmica (argumento positivo) e do denominador (não nulo).

Passo 2

Impondo as condições de existência da expressão, temos:
x+1\neq0
e
x^{2}-7x-7>0.

Passo 3

Para a fração ser zero, basta exigir
\log_{7}\bigl(x^{2}-7x-7\bigr)=0.
Pelo fato de \log_{7}(A)=0 ocorrer quando A=1, obtemos
x^{2}-7x-7=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-7x-8=0.
Resolvendo essa quadrática:
x=\frac{7\pm\sqrt{49+32}}{2} =\frac{7\pm9}{2} \quad\Longrightarrow\quad x=8\quad\text{ou}\quad x=-1.

Passo 4

Verificamos cada candidato no domínio:
  • Para x=-1: falha em x+1\neq0.
  • Para x=8: 8+1\neq0 e 8^{2}-7\cdot8-7=64-56-7=1>0. Portanto x=8 é válido.

Resposta

A única solução é 8.

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