(2,0 pt) Considere a área A formada pelos pontos ( x, y ), onde x>0 \mathrm{e} \frac{1}{x^{2}} \leq y \leq 5-x^{2}. Faça um esboço da região e calcule área.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região
\displaystyle A=\{(x,y)\mid x>0,\;\tfrac1{x^2}\le y\le 5 - x^2\}
e o cálculo da sua área. O conteúdo envolve encontrar os pontos de interseção das curvas
\displaystyle y=\tfrac1{x^2} e \displaystyle y=5 - x^2
e usar integração para obter a área delimitada.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção igualamos
\frac1{x^2}=5 - x^2
e multiplicamos por x^2, obtendo
1 = 5x^2 - x^4 \quad\Longrightarrow\quad x^4 - 5x^2 + 1 = 0.
Dessa equação de segundo grau em x^2 vem
x^2 = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}.
Como queremos x>0, definimos
a = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{21}}{2}}, \quad b = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{21}}{2}}.

Passo 3

O esboço da região é dado pelo gráfico da curva decrescente \,y=\tfrac1{x^2} e da parábola invertida \,y=5 - x^2. Elas se cruzam em \,x=a e \,x=b. A região A fica entre essas curvas, para x variando de a até b, e para cada x o y vai de \tfrac1{x^2} até 5 - x^2.

Passo 4

A área de A é
A = \int_{x=a}^{x=b} \Bigl[(5 - x^2) - \tfrac1{x^2}\Bigr]\,dx.
Calculamos a antiderivada
\int \bigl(5 - x^2 - x^{-2}\bigr)\,dx = 5x - \frac{x^3}{3} + \frac1{x}.

Passo 5

Avaliando de a até b e usando as identidades
\,ab=1, \,a+b=\sqrt7 e \,b - a=\sqrt3, chega-se a
A = 2\sqrt3.

Resposta

2\sqrt3

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