Decida se a equação dada define um elipsoide ou hiperboloide e, se for uma hiperboloide, se é de uma ou de duas folhas.
Passo 1
O enunciado dá a superfície de segundo grau
e pede para decidir se isso é um elipsoide ou um hiperboloide, e no caso de hiperboloide, se é de uma ou de duas folhas. Vamos usar a classificação clássica de quádricas pela assinatura dos coeficientes.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão de quádricas, dividimos tudo por
:
aqui vemos claramente os três termos quadráticos com coeficientes
em
,
em
e
em
.
Passo 3
Contamos quantos sinais positivos e quantos negativos aparecem:
- Positivos: coeficientes de
e sinais “ ” - Negativos: coeficiente de
sinal “−”
Como há sinais mistos (não são todos positivos nem todos negativos), essa superfície não é um elipsoide, mas sim um hiperboloide.
Passo 4
Na classificação de hiperboloides de uma variável negativa e duas positivas (ou vice-versa), vale:
- Se houver exatamente um coeficiente negativo (e dois positivos), temos um hiperboloide de uma folha.
- Se houvessem dois coeficientes negativos (e um positivo), seria um hiperboloide de duas folhas.
Resposta
A superfície
é um hiperboloide de uma folha.