Decida se a equação dada define um elipsoide ou hiperboloide e, se for uma hiperboloide, se é de uma ou de duas folhas.
x^2-3y^2+9z^2=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície de segundo grau
x^2 ;-; 3y^2 ;+; 9z^2 ;=; 1
e pede para decidir se isso é um elipsoide ou um hiperboloide, e no caso de hiperboloide, se é de uma ou de duas folhas. Vamos usar a classificação clássica de quádricas pela assinatura dos coeficientes.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão de quádricas, dividimos tudo por 1:
x^21;-;y^21/3;+;z^21/9;=;1
aqui vemos claramente os três termos quadráticos com coeficientes
+1 em x^2,
-1 em y^2 e
+1 em z^2.

Passo 3

Contamos quantos sinais positivos e quantos negativos aparecem:
  • Positivos: coeficientes de x^2 e z^2 to 2 sinais “ +
  • Negativos: coeficiente de y^2 to 1 sinal “−”
    Como há sinais mistos (não são todos positivos nem todos negativos), essa superfície não é um elipsoide, mas sim um hiperboloide.

Passo 4

Na classificação de hiperboloides de uma variável negativa e duas positivas (ou vice-versa), vale:
  • Se houver exatamente um coeficiente negativo (e dois positivos), temos um hiperboloide de uma folha.
  • Se houvessem dois coeficientes negativos (e um positivo), seria um hiperboloide de duas folhas.

Resposta

A superfície
x^2 - 3y^2 + 9z^2 = 1
é um hiperboloide de uma folha.

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