Suponha que um tanque contendo líquido tem uma saída perto do fundo. Seja h(t) a altura da superfície do líquido acima da saída no instante t. O princípio de Torricelli diz que a velocidade v do fluxo na saída é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sem atrito) quando solta da mesma altura h.
Como ficaria o modelo se o tanque fosse na forma de um cone invertido (raio maior na parte alta e raio nulo na saída) com a mesma altura e o raio na parte mais alta igual a 1 metro.

Passo 1

O enunciado pede modelar o escoamento de um tanque em forma de cone invertido (raio zero na base, raio máximo R=1 m no topo) de altura H, usando o princípio de Torricelli. O conteúdo é a formulação de uma equação diferencial para a altura h(t). Vamos precisar:
  • da relação geométrica entre o raio da seção transversal e h;
  • da expressão do volume em função de h;
  • da lei de conservação de massa dV/dt = -a,v, onde a é a área da saída e v=raiz2gh.

Passo 2

Como o cone tem raio zero na base e raio R=1 no topo, a semelhança de triângulos dá
r(h)=RH,h = 1H,h
A área da seção transversal a uma altura h é
A(h)=pi,r(h)^2 = pi,gl(hHgr)^2 = piH^2,h^2

Passo 3

O volume de líquido até a altura h(t) é
V(h) ;=;integral0^h A(u),du ;=;integral0^h piH^2,u^2,du ;=;piH^2,h^33 ;=;pi,h^33,H^2

Passo 4

Pelo princípio de Torricelli, a vazão volumétrica (negativa) na saída é
dVdt ;=;-,a,v ;=;-,a,raiz2,g,h(t)
Por outro lado,
dVdt = dVdh,dhdt = piH^2,h^2,dhdt

Passo 5

Igualando as duas expressões de dV/dt e isolando dh/dt, obtemos
piH^2,h^2,dhdt = -,a,raiz2,g,h Longrightarrow dhdt = -,a,H^2pi,h^2,raiz2,g,h = -,a,H^2,raiz2gpi;h^-tfrac32

Resposta

A equação diferencial que modela a altura h(t) é
boxeddhdt ;=;-,a,H^2,raiz2,gpi;h^-tfrac32

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