Suponha que um tanque contendo líquido tem uma saída perto do fundo. Seja
a altura da superfície do líquido acima da saída no instante
. O princípio de Torricelli diz que a velocidade
do fluxo na saída é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sem atrito) quando solta da mesma altura
.
Como ficaria o modelo se o tanque fosse na forma de um cone invertido (raio maior na parte alta e raio nulo na saída) com a mesma altura e o raio na parte mais alta igual a 1 metro.
Como ficaria o modelo se o tanque fosse na forma de um cone invertido (raio maior na parte alta e raio nulo na saída) com a mesma altura e o raio na parte mais alta igual a 1 metro.
Passo 1
O enunciado pede modelar o escoamento de um tanque em forma de cone invertido (raio zero na base, raio máximo
m no topo) de altura
, usando o princípio de Torricelli. O conteúdo é a formulação de uma equação diferencial para a altura
. Vamos precisar:
- da relação geométrica entre o raio da seção transversal e
; - da expressão do volume em função de
; - da lei de conservação de massa
, onde é a área da saída e .
Passo 2
Como o cone tem raio zero na base e raio
no topo, a semelhança de triângulos dá
A área da seção transversal a uma altura
é
Passo 3
O volume de líquido até a altura
é
Passo 4
Pelo princípio de Torricelli, a vazão volumétrica (negativa) na saída é
Por outro lado,
Passo 5
Igualando as duas expressões de
e isolando
, obtemos
Resposta
A equação diferencial que modela a altura
é