Decida se a equação dada define um paraboloide elíptico ou hiperbólico ou um cone elíptico.
.
Passo 1
A equação dada é
. O conteúdo é a classificação de superfícies quádricas (segundo grau em
) e vamos precisar lembrar os tipos: paraboloide elíptico (tem
ao primeiro grau), paraboloide hiperbólico (
também ao primeiro grau mas com sinais opostos em
), e cone quádruplo ou duplo (todas as variáveis aparecem ao segundo grau, sem termos lineares ou constantes).
Passo 2
Para ver que não é paraboloide, observe que tanto
quanto
aparecem elevados ao segundo grau. Em um paraboloide elíptico ou hiperbólico,
aparece ao primeiro grau. Aqui temos todos os termos homogêneos de grau 2, o que indica uma superfície cônica.
Passo 3
Escrevendo em forma padronizada, levamos tudo para o mesmo lado:
Isso é um caso clássico de cone quádruplo (duas nappes), pois é uma equação homogênea de grau 2 sem termos lineares ou constantes.
Passo 4
Para entender o formato ‘‘elíptico’’ do cone, basta olhar as seções transversais para
fixo. Substituindo na equação temos:
que, para
, é sempre uma elipse. Isso confirma que é um cone elíptico.
Passo 5
Portanto, a superfície dada é um cone elíptico de duas nappes.
Resposta
Cone elíptico.