Decida se a equação dada define um paraboloide elíptico ou hiperbólico ou um cone elíptico.
z^2=(x4)^2+(y3)^2.

Passo 1

A equação dada é z^2=l(tfracx4r)^2+l(tfracy3r)^2. O conteúdo é a classificação de superfícies quádricas (segundo grau em x,y,z) e vamos precisar lembrar os tipos: paraboloide elíptico (tem z ao primeiro grau), paraboloide hiperbólico ( z também ao primeiro grau mas com sinais opostos em x,y), e cone quádruplo ou duplo (todas as variáveis aparecem ao segundo grau, sem termos lineares ou constantes).

Passo 2

Para ver que não é paraboloide, observe que tanto z quanto x,y aparecem elevados ao segundo grau. Em um paraboloide elíptico ou hiperbólico, z aparece ao primeiro grau. Aqui temos todos os termos homogêneos de grau 2, o que indica uma superfície cônica.

Passo 3

Escrevendo em forma padronizada, levamos tudo para o mesmo lado: z^2-x^216-y^29=0 Isso é um caso clássico de cone quádruplo (duas nappes), pois é uma equação homogênea de grau 2 sem termos lineares ou constantes.

Passo 4

Para entender o formato ‘‘elíptico’’ do cone, basta olhar as seções transversais para z=c fixo. Substituindo na equação temos: x^216+y^29=c^2, que, para cneq0, é sempre uma elipse. Isso confirma que é um cone elíptico.

Passo 5

Portanto, a superfície dada é um cone elíptico de duas nappes.

Resposta

Cone elíptico.

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