Verifique se a função f é contínua no ponto especificado.
f(x)= 3 x-10 & se x>4 2 & se x=4 10-2 x & se x<4 no ponto x=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função $ f $ é contínua no ponto $ x = 4 $. Pra isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções, limites laterais e funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em $ x = a $ se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em $ a $ (ou seja, $ f(a) $ existe).
  2. O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição. Olhando a função:
f(x)= 3x - 10 & se x > 4 2 & se x = 4 10 - 2x & se x < 4
Quando $ x = 4 $, $ f(4) = 2 $. Então, a função está definida em $ x = 4 $.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição: calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 4 pela direita ($ x \to 4^+ x x \to 4^- $).
Primeiro, o limite pela direita:
x to 4^+

Passo 5

Agora, o limite pela esquerda:
limx to 4^- f(x) = limx to 4^- (10 - 2x) = 10 - 2(4) = 10 - 8 = 2

Passo 6

Como os limites pela direita e pela esquerda são iguais:
limx to 4 f(x) = 2
E sabemos que $ f(4) = 2 $.

Resposta

Como $ \lim_{x \to 4} f(x) = f(4) = 2 $, a função $ f $ é contínua no ponto $ x = 4 $.

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