Decida se a equação diferencial
é exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se a equação diferencial
é exata. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a condição de exatidão está satisfeita, ou seja, se as derivadas parciais dos termos que acompanham
e
são iguais de uma maneira específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos que acompanham
e
na equação. Vamos chamar:
Então, a equação fica na forma:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Primeiro, vamos calcular
.
Aplicando a regra do quociente, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
Novamente, usando a regra do quociente:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, vamos comparar:
Percebemos que:
Resposta
Sim, a equação diferencial é exata.