Decida se a equação diferencial
x(x^2+y^2)^-1 d x+y(x^2+y^2)^-1 d y equiv 0
é exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se a equação diferencial
x(x^2+y^2)^-1 d x + y(x^2+y^2)^-1 d y equiv 0
é exata. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a condição de exatidão está satisfeita, ou seja, se as derivadas parciais dos termos que acompanham dx e dy são iguais de uma maneira específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos que acompanham dx e dy na equação. Vamos chamar:
M(x, y) = xx^2 + y^2 e N(x, y) = yx^2 + y^2
Então, a equação fica na forma:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x . Primeiro, vamos calcular partial Mpartial y .
M = xx^2 + y^2
Aplicando a regra do quociente, temos:
partial Mpartial y = 0 cdot (x^2 + y^2) - x cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Npartial x .
N = yx^2 + y^2
Novamente, usando a regra do quociente:
partial Npartial x = 0 cdot (x^2 + y^2) - y cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, vamos comparar:
partial Mpartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2 e partial Npartial x = -2xy(x^2 + y^2)^2
Percebemos que:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Resposta

Sim, a equação diferencial é exata.

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