A função diferenciável z=z(u, v) é dada implicitamente pela equação f(uv, z)=0, onde f(x, y) é diferenciável e e partial fpartial y(x, y) neq 0. Verifique que
u partial zpartial u+v partial zpartial v=0

Passo 1

O enunciado define a função z=z(u,v) implicitamente por
f!l(x,z(u,v)r)=0, onde;x=uv,
e exige que mostremos
u,partial zpartial u+v,partial zpartial v=0
O conteúdo principal é o uso da diferenciação implícita aplicando as derivadas parciais de f(x,y).

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a u, temos
partialpartial ul[fl(x(u,v),,z(u,v)r)r] = fx,partial xpartial u+fy,partial zpartial u=0,
onde escrevemos fx=partial fpartial x(x,z) e fy=partial fpartial y(x,z).
Como x=u/v, resulta
partial xpartial u=1v,
logo
fxcdot1v+fy,zu=0 Longrightarrow zu=-fxv,fy

Passo 3

Agora diferenciamos em relação a v:
partialpartial vl[fl(x(u,v),,z(u,v)r)r] = fx,partial xpartial v+fy,partial zpartial v=0
Como x=u/v, tem-se
partial xpartial v=-uv^2,
portanto
fx!l(-uv^2r)+fy,zv=0 Longrightarrow zv=u,fxv^2,fy

Passo 4

Basta agora verificar
u,zu+v,zv =ul(-fxv,fyr) +vl(u,fxv^2,fyr) =-u,fxv,fy+u,fxv,fy=0

Resposta

u,partial zpartial u+v,partial zpartial v=0

Exercícios relacionados