Usando o método da eq. dif. exata encontre a solução - na forma implícita - do seguinte PVI:
l [ 2 x + y ( x ) ] d x + [ x + 2 y ( x ) ] d y equiv 0 y ( 0 ) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma questão de equações diferenciais exatas. O enunciado pede para encontrar a solução implícita da seguinte equação diferencial com a condição inicial y(0) = 1 :
[2x + y(x)],dx + [x + 2y(x)],dy = 0
Vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como aplicar esse método para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma M(x, y),dx + N(x, y),dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x . Vamos calcular:
M(x, y) = 2x + y e N(x, y) = x + 2y
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1 e partial Npartial x = 1
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é exata. Isso significa que existe uma função Psi(x, y) tal que:
dPsi = M,dx + N,dy = 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar essa função Psi(x, y) . Para isso, integramos M em relação a x :
Psi(x, y) = integral (2x + y) , dx = x^2 + yx + h(y)
Aqui, h(y) é uma função arbitrária de y que aparece porque a integração é em relação a x .

Passo 4

Em seguida, derivamos Psi(x, y) em relação a y e igualamos à função N(x, y) para encontrar h(y) :
partial Psipartial y = x + h'(y) = x + 2y
Isso nos dá:
h'(y) = 2y implies h(y) = y^2 + C
Onde C é uma constante de integração, que podemos ignorar pois será absorvida pela constante geral na solução.

Passo 5

Agora, substituímos h(y) na expressão de Psi(x, y) :
Psi(x, y) = x^2 + yx + y^2
A solução implícita da equação diferencial é dada por Psi(x, y) = constante . Vamos chamar essa constante de C :
x^2 + yx + y^2 = C

Passo 6

Utilizamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de C :
0^2 + (1)(0) + (1)^2 = C implies C = 1

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
x^2 + yx + y^2 = 1

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