Usando o método da eq. dif. exata encontre a solução - na forma implícita - do seguinte PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma questão de equações diferenciais exatas. O enunciado pede para encontrar a solução implícita da seguinte equação diferencial com a condição inicial
:
Vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como aplicar esse método para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar essa função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que aparece porque a integração é em relação a
.
Passo 4
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos à função
para encontrar
:
Isso nos dá:
Onde
é uma constante de integração, que podemos ignorar pois será absorvida pela constante geral na solução.
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
A solução implícita da equação diferencial é dada por
. Vamos chamar essa constante de
:
Passo 6
Utilizamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é: