Decida se a equação diferencial y^{2} d x+x^{3} d y=0
é exata.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^{2}\,dx + x^{3}\,dy = 0
e pede para decidirmos se ela é exata. O conteúdo é de EDO exatas, em que definimos
M(x,y) = y^{2}, \quad N(x,y) = x^{3},
e verificamos se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y) = y^{2}, \qquad N(x,y) = x^{3}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 3x^{2}.

Passo 4

Como \partial M/\partial y = 2y
não é igual a \partial N/\partial x = 3x^{2},
a condição de exatidão falha.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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