Resolva o seguinte PVI usando o método da separação de variáveis:
\left\{\begin{array}{l} -2 t+(y(t))^{4} y^{\prime}(t) \equiv 0 \\\ y(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial para a equação diferencial
-2t + (y(t))^{4}\,y'(t) = 0,
com condição inicial y(0)=2. O conteúdo é o método de separação de variáveis em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.

Passo 2

Reescrevemos a equação de modo a isolar y'(t). Assim, temos
(y(t))^{4}\,y'(t) = 2t.

Passo 3

Aplicamos a separação de variáveis, levando todos os termos em y para um lado e em t para o outro:
y^{4}\,\mathrm{d}y = 2t\,\mathrm{d}t,
pois y'(t)\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}y.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int y^{4}\,\mathrm{d}y = \int 2t\,\mathrm{d}t.
No lado esquerdo
\int y^{4}\,\mathrm{d}y = \frac{y^{5}}{5},
e no direito
\int 2t\,\mathrm{d}t = t^{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por 5, obtemos
y^{5} = 5t^{2} + C_{1},\quad C_{1}=5C.
Usando y(0)=2, temos
2^{5} = C_{1} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=32.
Logo
y^{5} = 5t^{2} + 32.

Passo 6

Extraímos a raiz quinta para obter a solução explícita:
y(t) = \bigl(5t^{2} + 32\bigr)^{\frac{1}{5}}.

Resposta

y(t) = \bigl(5t^{2} + 32\bigr)^{\frac{1}{5}}.

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