Decida se a equação diferencial 4 y^{2} d x+y x^{3} d y \equiv 0 é exata.

Passo 1

O enunciado pede verificar se a equação diferencial
4 y^{2}\,dx + y x^{3}\,dy \equiv 0
é exata. Lembrando que uma equação da forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y) = 4 y^{2}
e
N(x,y) = y x^{3}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 8y,
\frac{\partial N}{\partial x} = 3x^{2}y.

Passo 4

Comparando, temos
8y \neq 3x^{2}y
de forma geral. Logo, a condição de exatidão não é satisfeita.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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