Usando o método da eq. dif. exata encontre a solução - na forma implícita - do seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{l}{\left[v^{2}+15 x^{4} y\right] d x+\left[3 x^{5}+2 x y\right] d y \equiv 0}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver implicitamente a equação diferencial
\bigl(y^{2}+15x^{4}y\bigr)\,dx+\bigl(3x^{5}+2xy\bigr)\,dy=0
pelo método de equação exata. O conteúdo principal é verificar que a forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata, ou seja,
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
e então encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N. A solução geral será \psi(x,y)=C.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
M(x,y)=y^{2}+15x^{4}y
N(x,y)=3x^{5}+2xy
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}+15x^{4}y\bigr) =2y+15x^{4},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{5}+2xy\bigr) =15x^{4}+2y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \psi(x,y) satisfazendo \psi_x=M. Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) =\int\bigl(y^{2}+15x^{4}y\bigr)\,dx =\int y^{2}\,dx+\int 15x^{4}y\,dx =xy^{2}+3x^{5}y+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo \psi_{y}=N, temos
\psi_{y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy^{2}+3x^{5}y+h(y)\bigr) =2xy+3x^{5}+h'(y) \stackrel{!}{=}3x^{5}+2xy.
Logo h'(y)=0, ou seja, h(y)= constante.

Resposta

A solução implícita geral é
xy^{2}+3x^{5}y=C,
com C constante arbitrária.

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