Resolva o seguinte PVI usando o método da separação de variáveis:
\left\{\begin{array}{l}-2 t+2 y(t) y^{\prime}(t) \equiv 0 \\\ y(3)=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
-2\,t + 2\,y(t)\,y'(t) = 0,\qquad y(3)=5,
que é uma EDO de primeira ordem e separável. Vamos usar separação de variáveis para encontrar y(t).

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial isolando y'(t):
2\,y\,y' = 2\,t \quad\Longrightarrow\quad y\,\frac{dy}{dt} = t.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos ambos os lados:
y\,dy = t\,dt
\int y\,dy = \int t\,dt
\frac{y^2}{2} = \frac{t^2}{2} + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(3)=5. Substituindo t=3 e y=5 em \frac{y^2}{2} = \frac{t^2}{2} + C:
\frac{25}{2} = \frac{9}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad C = 8.
Logo
\frac{y^2}{2} = \frac{t^2}{2} + 8 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = t^2 + 16.

Passo 5

Extraímos a raiz:
y(t) = \pm\sqrt{t^2 + 16}.
Como y(3)=5>0, escolhemos o ramo positivo:
y(t) = \sqrt{t^2 + 16}.

Resposta

\displaystyle y(t) = \sqrt{t^2 + 16}.

Exercícios relacionados