Decida se existe

Passo 1

O enunciado nos pede para decidir se existe o limite
lim(x,y)to(0,0) 4x^2+3y^2+x^3y^3x^2+y^2+x^4y^4
O conteúdo é limite de função de duas variáveis. Um modo clássico é verificar se o valor da função ao longo de diferentes caminhos de aproximação a (0,0) coincide ou não.

Passo 2

Considere o caminho y=0. Então ao longo desse caminho temos
4x^2+3cdot0^2+x^3cdot0^3x^2+0^2+x^4cdot0^4 =4x^2x^2 =4
Logo
limxto04x^2+3cdot0^2+x^3cdot0^3x^2+0^2+x^4cdot0^4=4

Passo 3

Agora considere o caminho x=0. Nesse caso
4cdot0^2+3y^2+0^3y^30^2+y^2+0^4y^4 =3y^2y^2 =3
Portanto
limyto04cdot0^2+3y^2+0^3y^30^2+y^2+0^4y^4=3

Resposta

O limite não existe, pois ao aproximar por y=0 obtemos 4 e por x=0 obtemos 3, valores diferentes.

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