Seja sigma a superfície do cubo limitado pelos planos x= pm 1, y= pm 1, z= pm 1, orientada por vetores normais unitários para fora. Em cada parte determine o fluxo de F através de sigma
F(x, y, z)=x i+y j+z k

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=x,i+y,j+z,k através da superfície fechada sigma do cubo -1<= x,y,z<=1, orientada para fora. Para isso vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de F através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência de F no volume interno.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nabla!cdot F =partialpartial x(x)+partialpartial y(y)+partialpartial z(z) =1+1+1 =3

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de F através de sigma vale
integral duplasigmaFcdot n,dS =integral triplaV(nabla!cdot F),dV,
onde V é o cubo -1<= x,y,z<=1.

Passo 4

Como nabla!cdot F=3 é constante, a integral tripla se reduz a
integral triplaV3,dV =3;l(Volume de Vr)
O volume do cubo de aresta 2 é 2^3=8.

Passo 5

Portanto o fluxo é
3times 8=24

Resposta

O fluxo de F através de sigma é 24.

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