a) Use a regra de Lhospital para calcular
lim x 0 sen(2 x)-2 xx^3
b) Decida se existe
lim (x, y) (0,0) sen(2 x)-2 x+yx^3+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui:
a) Precisamos calcular o limite lim x 0 sin(2x)-2xx^3 usando a regra de L’Hospital.
b) Precisamos verificar se existe o limite lim (x, y) (0,0) sin(2x)-2x+yx^3+y.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a regra de L’Hospital, como aplicá-la e também analisar limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Vamos começar com a parte a). Primeiro, observamos que quando substituímos x = 0 na expressão sin(2x)-2xx^3, nós temos:
sin(0)-00^3 = 00
Isso é uma indeterminação do tipo 00, o que significa que podemos usar a regra de L’Hospital. A regra de L’Hospital nos diz que, se limx to a f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite novamente.

Passo 3

Vamos aplicar a regra de L’Hospital na parte a). Derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador: ddx [sin(2x) - 2x] = 2cos(2x) - 2
Derivada do denominador: ddx [x^3] = 3x^2
Então, nosso limite agora fica:
limx to 0 2cos(2x) - 23x^2
Vamos verificar novamente substituindo x = 0:
2cos(0) - 20 = 2(1) - 20 = 00
Ainda temos uma indeterminação 00, então aplicamos a regra de L’Hospital novamente.

Passo 4

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador: ddx [2cos(2x) - 2] = -4sin(2x)
Derivada do denominador: ddx [3x^2] = 6x
Então, nosso limite agora é:
limx to 0 -4sin(2x)6x = limx to 0 -2sin(2x)3x
Substituindo x = 0:
-2sin(0)0 = 00
Ainda está 00, então aplicamos a regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador: ddx [-4sin(2x)] = -8cos(2x)
Derivada do denominador: ddx [6x] = 6
Agora, nosso limite é:
limx to 0 -8cos(2x)6 = -8cos(0)6 = -8(1)6 = -43

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). Precisamos verificar se o limite lim (x, y) (0,0) sin(2x)-2x+yx^3+y existe.
Primeiro, vamos tentar calcular esse limite alongando diferentes caminhos para (0,0).

Passo 7

Vamos tentar o caminho y = 0:
limx to 0 sin(2x)-2xx^3 = -43 (resu<ado da parte a)
Agora, vamos tentar o caminho x = 0:
limy to 0 sin(0)-0 + y0 + y = limy to 0 yy = 1

Passo 8

Vemos que o limite ao longo de y = 0 é -43 e ao longo de x = 0 é 1. Como esses dois limites são diferentes, isso significa que o limite geral não existe, pois depende do caminho pelo qual nos aproximamos de (0,0).

Resposta

a) -43
b) O limite não existe.

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