a) Use a regra de Lhospital para calcular
b) Decida se existe
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui:
a) Precisamos calcular o limite
usando a regra de L’Hospital.
b) Precisamos verificar se existe o limite
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a regra de L’Hospital, como aplicá-la e também analisar limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Vamos começar com a parte a). Primeiro, observamos que quando substituímos
na expressão
, nós temos:
Isso é uma indeterminação do tipo
, o que significa que podemos usar a regra de L’Hospital. A regra de L’Hospital nos diz que, se
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite novamente.
Passo 3
Vamos aplicar a regra de L’Hospital na parte a). Derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, nosso limite agora fica:
Vamos verificar novamente substituindo
:
Ainda temos uma indeterminação
, então aplicamos a regra de L’Hospital novamente.
Passo 4
Vamos derivar novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, nosso limite agora é:
Substituindo
:
Ainda está
, então aplicamos a regra de L’Hospital mais uma vez.
Passo 5
Vamos derivar novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, nosso limite é:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b). Precisamos verificar se o limite
existe.
Primeiro, vamos tentar calcular esse limite alongando diferentes caminhos para
.
Passo 7
Vamos tentar o caminho
:
Agora, vamos tentar o caminho
:
Passo 8
Vemos que o limite ao longo de
é
e ao longo de
é
. Como esses dois limites são diferentes, isso significa que o limite geral não existe, pois depende do caminho pelo qual nos aproximamos de
.
Resposta
a)
b) O limite não existe.