Questão 9 Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty 2^n^2n!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty 2^n^2n!
usando o teste da razão. Lembrando que, para o teste da razão, definimos an como o n-ésimo termo da série e calculamos
L = limntoinfty an+1an
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definimos
an = 2^n^2n!
e calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 2^(n+1)^2(n+1)!;g/;2^n^2n! = 2^n^2 + 2n +1(n+1),n!;cdot;n!2^n^2 = 2^2n+1n+1

Passo 3

Agora analisamos o limite
L = limntoinfty 2^2n+1n+1
Como 2^2n+1 cresce exponencialmente muito mais rápido que o fator linear n+1, temos
L = +infty

Passo 4

O teste da razão diz que, se L>1, a série diverge. Aqui L = +infty>1, portanto a série não converge, nem mesmo condicionalmente (já que os termos são positivos, convergência e convergência absoluta coincidem).

Resposta

A série sumn=1^infty tfrac2^n^2n! diverge.

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