Decida se a função abaixo dada é diferenciável no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a função definida por partes abaixo é diferenciável no ponto x0 = 2 :
f(x) = 3 - x + 5^x & se 0 <= x <= 2 x^2 - 4x + 5 & se 2 < x < infty
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela é contínua nesse ponto e se as derivadas à esquerda e à direita desse ponto são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em x = 2 . Para isso, precisamos calcular o limite quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( f(2^-) ) e pela direita ( f(2^+) ) e ver se esses limites são iguais ao valor da função em x = 2 .
Passo 3
Calculando f(2) usando a primeira parte da função (já que 0 <= 2 <= 2 ):
f(2) = 3 - 2 + 5^2 = 1 + 25 = 26
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela esquerda ( x to 2^- ):
limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (3 - x + 5^x) = 3 - 2 + 5^2 = 1 + 25 = 26
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite pela direita ( x to 2^+ ):
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (x^2 - 4x + 5) = 2^2 - 4 times 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1
Passo 6
Comparando os limites e o valor da função:
f(2) = 26, limx to 2^- f(x) = 26, limx to 2^+ f(x) = 1
Como limx to 2^- f(x) neq limx to 2^+ f(x) , a função não é contínua em x = 2 .
Resposta
Não, a função f(x) não é diferenciável no ponto x0 = 2 porque não é contínua nesse ponto.