Em quais números as seguintes funções são diferenciáveis?
se
x<-1
se
-1 <= x <= 1
se
x>1
se
se
se
Passo 1
O enunciado nos dá a função
Queremos descobrir em quais pontos (g] é diferenciável. Para isso, lembramos que para uma função por partes basta verificar:
- Em cada parte interna, se o ramo é diferenciável.
- Nos pontos de transição, se há continuidade e se as derivadas laterais coincidem.
Passo 2
Analisando cada ramo longe das fronteiras:
- Para
,x<-1 é função linear, logo diferenciável em todog(x)=-1-2x .(-infty,-1) - Para
,-1<x<1 é polinômio, diferenciável em todog(x)=x^2 .(-1,1) - Para
,x>1 é linear, diferenciável emg(x)=x .(1,infty)
Portanto, só precisamos checar ex=-1 .x=1
Passo 3
Verificação em
x=-1 :
- Continuidade:
Logo
g é contínua em
-1 .
2. Derivadas laterais:
2. Derivadas laterais:
Como
g'-( -1)=g'+( -1) ,
g é diferenciável em
-1 .
Passo 4
Verificação em
x=1 :
- Continuidade:
Logo
g é contínua em
1 .
2. Derivadas laterais:
2. Derivadas laterais:
Como
g'-(1)neq g'+(1) ,
g não é diferenciável em
1 .
Resposta
A função
g é diferenciável em todos os
xinR exceto em
x=1 , ou seja, em