Em quais números as seguintes funções são diferenciáveis?
g(x)=l-1-2 x x^2 x
se x<-1
se -1 <= x <= 1
se x>1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
Queremos descobrir em quais pontos (g] é diferenciável. Para isso, lembramos que para uma função por partes basta verificar:
  1. Em cada parte interna, se o ramo é diferenciável.
  2. Nos pontos de transição, se há continuidade e se as derivadas laterais coincidem.

Passo 2

Analisando cada ramo longe das fronteiras:
  • Para x<-1, g(x)=-1-2x é função linear, logo diferenciável em todo (-infty,-1).
  • Para -1<x<1, g(x)=x^2 é polinômio, diferenciável em todo (-1,1).
  • Para x>1, g(x)=x é linear, diferenciável em (1,infty).
    Portanto, só precisamos checar x=-1 e x=1.

Passo 3

Verificação em x=-1:
  1. Continuidade:
limxto-1^-g(x)=-1-2(-1)=1,
g(-1)=(-1)^2=1,
limxto-1^+g(x)=1
Logo g é contínua em -1.
2. Derivadas laterais:
g'-( -1)=ddx(-1-2x)|x=-1=-2,
g'+( -1)=ddx(x^2)|x=-1=2(-1)=-2
Como g'-( -1)=g'+( -1), g é diferenciável em -1.

Passo 4

Verificação em x=1:
  1. Continuidade:
limxto1^-g(x)=1^2=1,
g(1)=1^2=1,
limxto1^+g(x)=1
Logo g é contínua em 1.
2. Derivadas laterais:
g'-(1)=ddx(x^2)|x=1=2cdot1=2,
g'+(1)=ddx(x)|x=1=1
Como g'-(1)neq g'+(1), g não é diferenciável em 1.

Resposta

A função g é diferenciável em todos os xinR exceto em x=1, ou seja, em
Rsetminus1

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