Em quais números as seguintes funções são diferenciáveis?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir em quais números a função dada é diferenciável. A função é uma função por partes, ou seja, ela tem uma expressão diferente para valores de x menores ou iguais a 1 e outra para x maiores que 1. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade e como ela se comporta em funções que mudam de expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. Para x <= 1 , a função é f(x) = 3 - x . Essa é uma função linear, e sabemos que funções lineares são diferenciáveis em todo o seu domínio. Então, para todos os x < 1 , a função é diferenciável.
Para x > 1 , a função é f(x) = 2x^2 - 2x + 2 . Essa é uma função polinomial, e polinômios também são diferenciáveis em todo o seu domínio. Portanto, para todos os x > 1 , a função também é diferenciável.
Passo 3
Agora, o ponto crítico é em x = 1 , onde a definição da função muda. Precisamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto específico. Primeiro, vamos conferir se a função é contínua em x = 1 .
Para isso, calculamos o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( x <= 1 ) e pela direita ( x > 1 ):
Lado esquerdo ( x to 1^- ):
f(1^-) = 3 - 1 = 2
Lado direito ( x to 1^+ ):
f(1^+) = 2(1)^2 - 2(1) + 2 = 2 - 2 + 2 = 2
Como os limites são iguais e iguais ao valor da função em x = 1 , a função é contínua nesse ponto.
Passo 4
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em x = 1 . Para isso, precisamos comparar as derivadas pela esquerda e pela direita no ponto.
Primeiro, calculamos as derivadas das duas partes da função:
Para x <= 1 :
f'(x) = ddx(3 - x) = -1
Para x > 1 :
f'(x) = ddx(2x^2 - 2x + 2) = 4x - 2
Agora, avaliamos as derivadas em x = 1 :
Derivada pela esquerda ( f'(1^-) ):
f'(1^-) = -1
Derivada pela direita ( f'(1^+) ):
f'(1^+) = 4(1) - 2 = 2
Como f'(1^-) = -1 é diferente de f'(1^+) = 2 , as derivadas não coincidem no ponto x = 1 . Portanto, a função não é diferenciável em x = 1 .
Resposta
A função f(x) é diferenciável em todos os números reais menos em x = 1 .